Nama : Rahma Safitri
Kelas : 1pa13
Npm : 15515556
TUGAS
MATEMATIKA DAN IAD
Bab 14 Proposisi
9.1. Konsep dan
Notasi Dasar
Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi
tidak keduanya.
9.2. Proposisi dan Tabel Kebenaran
Proposisi adalah kalimat atau pernyataan yang
selalu memiliki nilai kebenaran, baik itu bernilai benar atau salah tetapi
tidak keduanya.
Semua
pernyataan di bawah ini adalah proposisi:
a) 13 adalah bilangan ganjil.
b) 1 + 1 = 2.
c) 8 ³ akar kuadrat dari 8 + 8.
d) Ada monyet di bulan.
e) Hari ini adalah hari Rabu.
f) Untuk sembarang bilangan bulat n
³ 0, maka 2n adalah bilangan genap.
g) x + y
= y + x untuk setiap x dan y bilangan riil.
Contoh 2
Semua
pernyataan di bawah ini bukan proposisi
(a) Jam berapa
kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
(b) Isilah
gelas tersebut dengan air!
(c) x +
3 = 8
(d) x >
3
Proposisi
dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ….
p : 13 adalah bilangan ganjil.
q : Untuk sembarang bilangan bulat n ³ 0, maka 2n adalah bilangan genap.
r : 2 + 2 = 4 2
Misalkan p dan q adalah proposisi.
1. Konjungsi
(conjunction): p dan q
· Notasi p ^q,
2. Disjungsi
(disjunction): p atau q
Notasi: p ˅
q
3. Ingkaran (negation)
dari p: tidak p
Notasi: ~p
Contoh 3
Diketahui
proposisi-proposisi berikut:
p : Hari ini hujan
q : Murid-murid diliburkan dari sekolah
p ^ q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan
dari sekolah
p˅q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari
sekolah
~p :
Tidak benar hari ini hujan
(atau: Hari ini
tidak hujan) 3
Contoh 4
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Pemuda itu
tinggi
q : Pemuda itu
tampan
Nyatakan dalam bentuk simbolik:
(a) Pemuda itu
tinggi dan tampan
(b) Pemuda itu
tinggi tapi tidak tampan
(c) Pemuda itu
tidak tinggi maupun tampan
(d) Tidak benar
bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan
(e) Pemuda itu
tinggi, atau pendek dan tampan
(f) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan
Penyelesaian:
(a) p ^ q
(b) p^ ~q
(c) ~p^~q
(d) ~(~p^
~q)
(e) p˅(p~
^q)
(f) ~(~p ^ ~q)
Misalkan p dan q adalah proposisi.
1. Kondisional atau implikasi : p → q
2. Konvers
(kebalikan) : q → p
3. Invers :
~ p →~ q
4. Kontraposisi : ~ q → ~ p
Bikondisional (Bi-implikasi)
- Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q”
-Notasi: p ↔ q
Tabel kebenaran
Tabel kebenaran adalah suatu tabel
yang memuat nilai kebenaran proposisi majemuk. Nilai kebenaran dari proposisi
majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran proposisi-proposisi pembangunnya. Jika
kalimat majemuk yang akan kita buat tabel kebenarannya memuat n proposisi
tunggal, maka jumlah komposisi nilai
kebenarannya ada 2n.
kebenarannya ada 2n.
9.3. Tautologi dan
Kontradiksi
Tautologi
adalah
pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai
kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat
pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu
pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan
menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka
disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau
penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1][1]
Contoh:
Lihat pada argumen berikut:
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah.
Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi
kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kuliah.
Diubah ke variabel proposional:
A Tono pergi
kuliah
B Tini pergi
kuliah
C Siska tidur
Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari
premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis,
sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
(1) A → B (Premis)
(2) C → B (premis)
(3) (A V C) → B (kesimpulan)
Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A
V C) → B
|
A
|
B
|
C
|
A → B
|
C → B
|
(A → B) ʌ (C → B)
|
A V C
|
(A V C) → B
|
|
|
B
B
B
B
S
S
S
S
|
B
B
S
S
B
B
S
S
|
B
S
B
S
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
B
B
|
B
B
S
B
B
B
S
B
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
B
BB
|
Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa
pernyataan majemuk :
((A → B) ʌ (C →
B)) → ((A V C) → B adalah semua benar
Contoh tautologi
dengan menggunakan tabel kebenaran:
1. (p ʌ ~q) p
Pembahasan:
|
p
|
q
|
~q
|
(p ʌ ~q)
|
(p ʌ ~q) p
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
B
S
B
|
S
B
S
S
|
B
B
B
B
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi
dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka
dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu benar.
2. [(p q) ʌ p] p
q
Pembahasan:
|
p
|
q
|
(p q)
|
(p q) ʌ p
|
[(p q) ʌ p]
p q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
B
S
S
S
|
B
B
B
B
|
(1) (2) (3) (4) (5)
Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran
pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan
majemuk [(p q) ʌ p] p
q selalu benar
Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran
atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi
logika.
Contoh:
a. (p ʌ q) q
Penyelesaian:
(p ʌ q) q ~(p ʌ q) v q
~p v
~q v q
~p v T
T
.............
Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan
majemuk dari (p ʌ q) q adalah tautologi
karena hasilnya T (true) atau benar.
Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari
pernyataan majemuk (p ʌ q) q yaitu:
|
P
|
q
|
(p ʌ q)
|
(p ʌ q) q
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
B
B
B
T
|
Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ
q) q merupakan Tautologi.
b. q (p v q)
penyelesaian:
q (p v q) ~q v (p v q)
~q v (q v p)
T v p
T ............
Kontradiksi adalah kebalikan
dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh
substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala
hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk
membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara
yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika
semua pilihan bernilai F atau salah maka
disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau
penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[2][4]
Contoh dari Kontradiksi:
1. (A ʌ ~A)
Pembahasan:
|
A
|
~A
|
(A ʌ ~A)
|
|
B
S
|
S
B
|
S
S
|
Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa
pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.
2. P ʌ (~p ʌ q)
Pembahasan:
|
p
|
q
|
~p
|
(~p ʌ q)
|
P ʌ (~p ʌ q)
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
S
B
S
|
S
S
S
S
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan
kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).
9.4. Ekivalen Logika
Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai
kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “ dua buah pernyataan majemuk dikatakan
ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang
sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan
komponen-komponennya.
Hukum-Hukum
Ekuivalensi Logika:
1.
Hukum komutatif:
p ʌ q q ʌ p
p v q q v p
2.
Hukum asosiatif:
(p ʌ q) ʌ r p ʌ
(q ʌ r)
(p v q) v r p v
(q v r)
3.
Hukum distributif:
p ʌ (q v r) (p
ʌ q) v (p ʌ r)
p v (q ʌ r) (p
v q) ʌ (p v r)
4.
Hukum identitas:
p ʌ T p
p v F p
5.
Hukum ikatan (dominasi):
P v T T
P v F F
6.
Hukum negasi:
P v ~p T
P ʌ ~p F
7.
Hukum negasi ganda (involusi):
~(~p) p
8.
Hukum idempoten:
P ʌ p p
p v p p
9.
Hukum de morgan:
~( p
ʌ q) ~p v
~q
~(p
v q) ~p ʌ ~q
10.
Hukum penyerapan (absorpsi):
p v (P ʌ q) p
P ʌ (p v q) p
11.
Hukum T dan F:
~T F
~F T
12.
Hukum implikasi ke and/or:
Dengan
adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi,
kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran
namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12
(dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.
Dengan
menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang kompleks dapat
disederhanakan, seperti contoh berikut:
1. Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p
v ~q) v (~p ʌ ~q) ~p
Jawab:
~(p v ~q)
v (~p ʌ ~q) (~p ʌ q) v (~p ʌ ~q)
~p ʌ (q v ~q)
~p ʌ T
~p
...........(terbukti)
2. Tunjukkan bahwa:
~(p v q) (~p ʌ ~q)
Tabel kebenaran ~(p
v q) dan (~p ʌ ~q)
yaitu:
|
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p v q
|
~(p v q)
|
(~p ʌ ~q)
|
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
B
B
B
S
|
S
S
S
B
|
S
S
S
B
|
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Dari tabel diatas
pada kolomk (6) dan (7), jelas bahwa ~(p v q) (~p ʌ ~q).
Jadi, ~(p v q) (~p ʌ ~q).
9.5. Aljabar
Proposisi
Setiap proposisi yang saling ekuivalen dapat
dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Dibawah ini
disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi,
|
1. Hukum
identitas
i.
p v F ó p
ii.
p ^ T ó p
|
2. Hukum null dominasi
i.
p ^ F ó F
ii.
p v T ó T
|
|
3. Hukum
negasi
i.
p v ~p ó T
ii.
p ^ ~p ó F
|
4. Hukum
idempotent
i.
p v p ó p
ii.
p ^ p ó p
|
|
5. Hukum
involusi
~(~p) ó p
|
6. Hukum
penyerapan
i.
p v (p ^ q) ó p
ii.
p ^ (p v q) ó p
|
|
7. Hukum
komutatif
i.
p v q ó q v p
ii.
p ^ q ó q ^ p
|
8. Hukum
assosiatif
i.
p v (q v r) ó (p v q) v r
ii.
p ^ (q ^ r) ó (p ^ q) ^ r
|
|
9. Hukum distributif
i.
p v (q ^ r) ó (p v q) ^ (p v r)
ii.
p ^ (q v r) ó (p ^ q) v (p ^ r)
|
10.
Hikum de morgan
i.
~(p ^ q) ó ~p v ~q
ii.
~(p v q) ó ~p ^ ~q
|
Hukum-hukum logika di atas bermanfaat untuk
membuktikan ke-ekivalenan dua buah proposisi. Selain menggunakan tabel
kebenaran, ke-ekivalenan dapat dibuktikan dengan hukum-hukum logika, khususnya
pada proposisi majemuk yang mempunyai banyak proposisi atomik. Bila suatu
proposisi majemuk mempunyai n buah proposisi atomic, maka table kebenarannya
terdiri dari baris. Untuk n yang besar jelas tidak praktis
menggunakan tabel kebenaran, misalnya untuk n=10 terdapat baris di
dalam tabel kebenarannya
9.6. Implikasi Logika
“jika Andi
rajin belajar maka Andi naik kelas”
Jika pada
kenyataannya Andi rajin belajar maka sebagai konskuensi logis dari pernyataan
di atas pasti Andi naik kelas.
Misal p:
Andi rajin belajar
q:
Andi naik kelas
maka
((p→q)∧p)→q, nilainya akan selalu benar.
|
p
|
Q
|
p→q
|
((p→q)∧p)
|
((p→q)∧p)→q
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
9.7. Fungsi
Proposisi dan Himpunan Kebenaran
Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang
mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek).
Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D,
P(x) adalah proposisi.
Contoh :
Misalkan
P(n) adalah pernyataan, n adalah bilangan ganjil dan D adalah himpunan bilangan
bulat positif. Maka P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembicaraan D
karena untuk setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D,
P(n) bisa bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya). Jika n=1, dapat
diperoleh proposisi. 1 adalah bilangan ganjil bernilai benar. Jika n=2,
diperoleh proposisi 2 adalah bilangan ganjil bernilai salah.
Fungsi
proposisi “x+2>7” yang didefinisikan pada N, yakni himpunan bilangan asli.
Maka {x | x Î N, x+2>7} = {6,7,8,…}adalah
himpunan kebenarannya.
9.8 Pengukur Jumlah
Universal
Misalkan A
sebuah penyataan, dan x menyatakan suatu variabel. Jika kita ingin
menunjukkan bahwa A bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai x,
kita tuliskan ∀xA. ∀x disebut
pengukur jumlah universal (universal quantifier), dan A dikatakan
sebagai ruang lingkup (scope) dari pengukur jumlah tersebut. Variabel x
dikatakan menjadi variabel terbatas (bound) dari pengukur jumlah
tersebut. Simbol ∀ dibaca “Untuk semua”.
Untuk
pernyataan “Semua kucing punya ekor” dapat kita nyatakan dalam kalkulus
predikat sebagai :
∀x (Kucing(x)⇒PunyaEkor(x))
9.9 Negasi Ingkaran
Kalimat ingkaran ( Negasi ) adalah
suatu pernyataan yang diperoleh dari suatu pernyataan sebelumnya dan mempunyai
nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan sebelumnya.
http://jessioimeliojordy.blogspot.co.id/2014/10/sap-6-matematika-sistem-informasi-1.html
