Sabtu, 16 Juli 2016

MINGGU KE 12 MATEMATIKA DAN IAD



Nama    : Rahma Safitri
Kelas     : 1pa13
Npm      : 15515556
TUGAS MATEMATIKA DAN IAD 

Bab 12  Relasi

 7.1. Pengantar Mengenai Relasi 

Definisi Relasi adalah himpunan bagian antara  A(domain) dan B (kodomain) atau  relasi yang memasangkan setiap elemen yang ada pada himpunan  A secara tunggal, dengan elemen yang  pada B.
R merupakan himpunan yang anggotanya merupakan pasangan terurut (ordered pair), (a, b) ≠ (b, a)
R = { (x, y) | x bertempat tinggal di y, x  A, y  B }


R = { (Amir, Bandung), (Budi, Surabaya), (Cecep, Jakarta), (Diah, Jakarta) }

7.2. Produk Cartesius dan Relasi
Diagram Kartesius menggunakan pasangan koordinat horisontal-vertikal. Setiap titik mewakili ada tidaknya hubungan A dan B, contoh :


7.3. Penyajian Matriks Relasi dan Diagram Panah
Himpunan E sebagai domain (daerah asal) diletakkan di sebelah kiri, dan himpunan F sebagai kodomain (kodomain) diletakkan di sebelah kanannya. Relasi antara himpunan E dan F ditunjukkan dengan arah panah. Seperti gambar di bawah ini

- Diagram Panah
jika, a  A dan b  B
maka,   (a, b)  R (buat anak panah dari a ke b)

-Penyajian Diagram Panah
R = {(1, p), (1, q), (2, q), (3, p)}


7.4. Relasi Invers
● Relasi Invers

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan R-1 adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb: R-1 = {(b,a): (a,b) R}
contoh:
A = {1,2,3}
B = {x,y}
R = {(1,x), (1,y), (3,x)} relasi dari A ke B
R-1= {(x,1), (y,1), (x,3)} relasi invers dari B ke A

7.5. Komposisi Relasi

Misalkan:  R = relasi himpunan A ke himpunan B
S = relasi dari himpunan B ke himpunan C.
S o R = {(a, c) ½ a  A, c  C, dan untuk beberapa b  B, (a, b R dan (b, c S }
Misalkan: Relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} adalah
                     R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}
                    Relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}.
                    S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}
Maka komposisi relasi R dan S adalah
S o R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) }
Komposisi relasi R dan S


7.6. Sifat Relasi
Refleksif
Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) Î R untuk setiap a Î A

Definisi di atas menyatakan bahwa di dalam relasi refleksif setiap elemen di dalam A berhubungan dengan dirinya sendiri. Juga menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a Î A tetapi tidak terdapat (a,a).

Contoh  :

Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :

a.    Relasi R = { (1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a,a) yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)

b.    Relasi R = {(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)} tidak bersifat refleksif karena tidak terdapat (3,3).

Transitif

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat transitif jika (a, b) R dan (b, c) R, maka (a, c) R, untuk a, b, c A.

Contoh :
Misalkan A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, dan relasi R didefinisikan oleh :
a R b jika dan hanya jikan a membagi b, dimana a, b A,
Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka :
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}
Ketika (2, 4) R dan (4, 8 ) R terlihat bahwa (2, 8 ) R.
Dengan demikian R bersifat transitif.

Contoh :
R merupakan relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan oleh :
R : a + b = 5, a, b A,
Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A, maka :
R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) }
Perhatika bawa (1, 4) R dan (4, 1) R , tetapi (1, 1) R.
Dengan demikian R tidak bersifat transitif.

Simetris

Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat simetri jika (a, b) R, untuk setiap a, b A, maka (b, a) R. Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan tidak simetri jika (a, b) R sementara itu (b, a) R.
                Contoh :
Misalkan R merupakan relasi pada sebuah himpunan Riil, yang dinyatakan oleh :
a R b jika dan hanya jika a b Z.
Periksa apakah relasi R bersifat simetri !
Misalkan a R b maka (a b) Z, Sementara itu jelas bahwa (b a) Z.
Dengan demikian R bersifat simetri.

Anti Simetri

                Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan anti simetri jika untuk setiap a, b A, (a, b) R dan (b, a) R berlaku hanya jika a = b. Perhatikanlah bahwa istilah simetri dan anti simetri tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a b.

Contoh :
Tunjukan bahwa relasi ‘≤’ merupakan pada himpunan Z. bersifat anti simetri
Jelas bahwa jika a b dan b a berarti a = b.
Jadi relasi ‘≤’ bersifat anti simetri.


7.7. Partisi
 Membedakan sifat-sifat relasi
Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:
  • Refleksif
  • Irefleksif
  • Simetrik
  • Anti-simetrik
  • Transitif
Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.
Relasi Refleksif
Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya.
Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.
Relasi Irefleksif
Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.
Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.
Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.
Relasi Simetrik
Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.
Sebuah relasi “ genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.
Relasi Anti-simetrik
Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.
Relasi Transitif
Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.
Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7
Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:
  • Refleksif
  • Simetrik, dan
  • Transitif
Orde parsial adalah relasi yang bersifat:
  • Refleksif
  • Anti-simetrik, dan
  • Transitif
Menjelaskan mengenai partisi
Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1,A2 …..dari A sedemikian sehingga :
(a)    A1  A2  …. = A, dan
(b)   Himpunan bagian Ai saling lepas;yaitu Ai ∩ Aj = Ø untuk i ≠ j.
Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.

 SUMBER :
http://listyramdhan.blogspot.co.id/2014/07/relasi.html

Tidak ada komentar:

Posting Komentar