Nama : Rahma Safitri
Kelas : 1pa13
Npm : 15515556
TUGAS
MATEMATIKA DAN IAD
Bab 12 Relasi
7.1. Pengantar Mengenai Relasi
Definisi Relasi adalah himpunan bagian
antara A(domain) dan B (kodomain)
atau relasi yang memasangkan setiap
elemen yang ada pada himpunan A secara
tunggal, dengan elemen yang pada B.
R merupakan himpunan yang anggotanya
merupakan pasangan terurut (ordered pair), (a, b) ≠ (b, a)
R = { (x, y) | x bertempat tinggal
di y, x A, y B }
R = { (Amir, Bandung), (Budi,
Surabaya), (Cecep, Jakarta), (Diah, Jakarta) }
7.2. Produk
Cartesius dan Relasi
Diagram Kartesius menggunakan pasangan koordinat horisontal-vertikal.
Setiap titik mewakili ada tidaknya hubungan A dan B, contoh :
7.3. Penyajian
Matriks Relasi dan Diagram Panah
Himpunan E
sebagai domain (daerah asal) diletakkan di sebelah kiri, dan himpunan F sebagai
kodomain (kodomain) diletakkan di sebelah kanannya. Relasi antara himpunan E
dan F ditunjukkan dengan arah panah. Seperti gambar di bawah ini
- Diagram Panah
jika, a A dan b B
maka, (a, b) R (buat anak panah dari a ke b)
-Penyajian Diagram Panah
R = {(1, p), (1, q), (2, q), (3, p)}
7.4. Relasi Invers
● Relasi Invers
Misalkan R
adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan
R-1 adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila
dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb: R-1 =
{(b,a): (a,b) R}
contoh:
A = {1,2,3}
A = {1,2,3}
B = {x,y}
R = {(1,x),
(1,y), (3,x)} relasi dari A ke B
R-1= {(x,1),
(y,1), (x,3)} relasi invers dari B ke A
7.5. Komposisi
Relasi
Misalkan: R = relasi
himpunan A ke himpunan B
S = relasi dari himpunan B ke himpunan C.
S o R = {(a, c) ½ a A, c C,
dan untuk beberapa b B,
(a, b) R dan (b,
c) S }
Misalkan: Relasi dari
himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} adalah
R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4),
(3, 6), (3, 8)}
Relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke
himpunan {s, t, u}.
S = {(2, u), (4, s),
(4, t), (6, t), (8, u)}
Maka komposisi relasi R dan S
adalah
S o R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t),
(3, s), (3, t), (3, u) }
Komposisi relasi R dan S
7.6. Sifat Relasi
● Refleksif
Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) Î R untuk setiap
a Î A
Definisi di
atas menyatakan bahwa di dalam relasi refleksif setiap elemen di dalam A
berhubungan dengan dirinya sendiri. Juga menyatakan bahwa relasi R pada
himpunan A tidak refleksif jika ada a Î A tetapi tidak terdapat (a,a).
Contoh :
Misalkan A =
{1, 2, 3, 4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka :
a. Relasi R = { (1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4) }
bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a,a) yaitu
(1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)
b. Relasi R = {(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)} tidak bersifat
refleksif karena tidak terdapat (3,3).
● Transitif
Suatu relasi R
pada himpunan A dinamakan bersifat transitif jika (a, b)
∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.
Contoh :
Misalkan A = { 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9}, dan relasi R didefinisikan oleh :
a R b jika dan hanya jikan a membagi b, dimana
a, b ∈ A,
Dengan memperhatikan definisi relasi
R pada himpunan A, maka :
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}
Ketika (2, 4) ∈ R dan (4, 8 ) ∈ R terlihat bahwa (2, 8 ) ∈ R.
Dengan demikian R bersifat
transitif.
Contoh :
R merupakan relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan
oleh :
R : a + b = 5, a, b ∈ A,
Dengan memperhatikan definisi relasi
R pada himpunan A, maka :
R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) }
Perhatika bawa (1, 4) ∈ R dan (4, 1) ∈ R , tetapi (1, 1) ∉ R.
Dengan demikian R tidak bersifat
transitif.
● Simetris
Suatu relasi R
pada himpunan A dinamakan bersifat simetri jika (a, b)
∈ R, untuk setiap a, b
∈ A, maka (b, a)
∈ R. Suatu relasi R pada
himpunan A dikatakan tidak simetri jika (a, b) ∈ R sementara itu (b, a) ∉ R.
Contoh
:
Misalkan R merupakan relasi
pada sebuah himpunan Riil, yang dinyatakan oleh :
a R b jika dan hanya jika a – b ∈ Z.
Periksa apakah relasi R bersifat
simetri !
Misalkan a R b maka (a –
b) ∈ Z, Sementara itu jelas bahwa
(b – a) ∈ Z.
Dengan demikian R bersifat
simetri.
● Anti Simetri
Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan
anti simetri jika untuk setiap a, b ∈ A, (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R berlaku hanya jika a = b.
Perhatikanlah bahwa istilah simetri dan anti simetri tidaklah berlawanan,
karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi
tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa
pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a ≠ b.
Contoh :
Tunjukan bahwa relasi ‘≤’ merupakan
pada himpunan Z. bersifat anti simetri
Jelas bahwa jika a ≤ b dan
b ≤ a berarti a = b.
Jadi relasi ‘≤’ bersifat anti
simetri.
7.7. Partisi
Membedakan sifat-sifat relasi
Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari
himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:
- Refleksif
- Irefleksif
- Simetrik
- Anti-simetrik
- Transitif
Kita menyebut relasi R dari A kepada A
sebagai relasi R dalam A.
Relasi Refleksif
Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki
sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya.
Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah
relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah
anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu
bersama dengan dirinya sendiri.
Relasi Irefleksif
Relasi R dalam A disebut memiliki sifat
irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya
sendiri.
Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu
mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y
adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat
mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah
irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur
rambutnya sendiri.
Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah,
relasi < dan > adalah irefleksif.
Relasi Simetrik
Relasi R dalam A disebut memiliki sifat
simetrik, jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain.
Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga
terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.
Sebuah relasi “ genap” adalah relasi simetrik, karena
untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi
tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut
tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan
untuk (3, 5) juga.
Relasi Anti-simetrik
Jika setiap a dan b yang terhubung hanya
terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan),
maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.
Relasi Transitif
Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat,
jika a berhubungan dengan b, dan b berhubungan dengan c,
maka a berhubungan dengan c secara langsung.
Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk
5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7
Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika
relasi tersebut bersifat:
- Refleksif
- Simetrik, dan
- Transitif
Orde parsial adalah relasi yang bersifat:
- Refleksif
- Anti-simetrik, dan
- Transitif
Menjelaskan mengenai partisi
Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan
himpunan bagian tidak kosong A1,A2 …..dari A sedemikian sehingga :
(a) A1
A2 …. = A, dan
(b) Himpunan
bagian Ai saling lepas;yaitu Ai ∩ Aj = Ø untuk i ≠ j.
Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2,
3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.
SUMBER :
http://listyramdhan.blogspot.co.id/2014/07/relasi.html
Tidak ada komentar:
Posting Komentar